⁂Irene's Blog⁂

有沒有人對1+1=2產生疑問?
說實在的我有=  =

印象中，那是屬於幼稚的國小時代(雖然現在也沒成熟到哪去)
由於小時後熱愛數學
加上後來不知道在考什麼試
有一天，我就在想
為什麼1+1=2，不是等於3
誰知道那些阿拉伯人在想什麼鬼

這是剛剛我無聊在知識+上晃晃看到的
這讓我想起小豪的同學的討論
"自由鋼彈的加速度即是放出的能量"
結論：速度很快(根本是廢話)
原因：自由鋼彈是由核能推進，但是以空氣阻力還有身上的裝甲來說，
          面積無受承受這種超高速推進，由於不能確定身上裝甲的金屬物質，無法求出。
夠不夠虎爛!!
雖然小豪也都在虎爛(他自己說)，可是這位同學也太...物理了吧!

毆，剛剛沒有說完我看到了什麼
是一個大學生發表的理論
我也不知道對不對
只是覺得...它會不會不想太多?

不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。
有不少人都可能曾經問過"為何1+1=2？"這個看似多餘(!?)的問題。
現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 "1+1=2" 
這句對絕大多數人來說都"顛撲不破"的數學述句。
首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），
故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。
例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}


〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕

現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：

0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}

[Λ為空集]

一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。

在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，
並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)
(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。 )

〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕

跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。

定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件： 

(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。

映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下： 

(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。

現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下： 

1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)

〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]

1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。
但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。
我相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica"中的那個。
我們可以這樣証明"1+1 = 2"：
　
    首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
　γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。

你知道什麼是1+1=? 


整個就是超奇妙，一大堆看不懂的東西
或許學微積分的都有看過吧!!
XDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD